ভেক্টর

 ভেক্টর এবং স্কেলার :

একটি ভেক্টর রাশির মান ও অভিমুখ থাকে । একটি নিৰ্দিষ্ট নিয়মে ভেক্টর রাশিসমূহ পরস্পর সংযোজিত হয় । সরণ , বেগ ও ত্বরণ হলো কতকগুলি ভেক্টর রাশির উদাহরণ । আরও অনেক ভেক্টর রাশি আছে । কিন্তু সমস্ত প্রাকৃতিক রাশি যাদের সঙ্গে কোনো অভিমুখ জড়িত নয় , যেমন - তাপমাত্রা ,চাপ, শক্তি,ভর এবং  সময় ইত্যাদির সহিত কোনো অভিমুখ সযুক্ত নয় । এগুলিকে স্কেলার রাশি বলে । স্কেলার রাশিকে সাধারণ বীজগণিতের নিয়মে সংযুক্ত করা হয় । একটি চিহ্নযুক্ত সংখ্যা দ্বারা স্কেলার রাশিকে নিৰ্দিষ্ট ( যেমন - -40⁰F ) করা হয় ।

সবচেয়ে  সরলতম ভেক্টর রাশি - অবস্থান ভেক্টর  বা সরণ । যে ভেক্টরের দ্বারা কোনো বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করা হয় তাকে সরণ বা অবস্থান ভেক্টর বলে । যদি একটি বস্তুকণা A অবস্থান থেকে B অবস্থানে পরিবর্তিত হয় তখন A থেকে B পর্যন্ত্য একটি তীর চিহ্নের দ্বারা কণাটির সরণ প্রকাশ করা হয় । 

চিত্রে A থেকে B তীর চিহ্ন  ,  A′ থেকে B′ তীর চিহ্ন এবং A″ থেকে B″ তীর চিহ্ন এর মান ও অভিমুখ একই । এইগুলি সবই একই সরণ  ভেক্টরকে প্রকাশ করে । একটি ভেক্টরকে এক স্থান থেকে অন্য স্থানে পরিবর্তন করা যেতে পারে ওর মান ও অভিমুখের পরিবর্তন না করে ।

অবস্থান ভেক্টরের দ্বারা বস্তুকণার গতির প্রকৃত পথ সম্পর্কে কিছুই জানা যায় না । অবস্থান ভেক্টর দ্বারা গতির চূড়ান্ত ফল জানা যায় বিন্তু গতি কোন পথে বা কোন  রাস্তায় ঘটে তা জানা যায় না । চিত্রে A থেকে B তে যাওয়ার তিনটি পথ দেখানো হয়েছে । তিনটি গতিকেই একই অবস্থান AB ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

জ্যামিতিক ভাবে ভেক্টরের সংযোজন :

ধরি একটি বস্তুকণা A থেকে B তে , পরে B থেকে C তে গমন করে । বস্তু কণা টি যে পথেই যাক না কেন , এক্ষেত্রে গতিটিকে দুটি ভেক্টরের দ্বারা প্রকাশ করতে পারি । এই দুটি ভেক্টর হলো AB এবং BC । এই দুই ভেক্টরের সম্মিলিত যোগফল হলো একটি ভেক্টর যা  A থেকে C ঘটে | এখানে AC ভেক্টর হলো AB  ও BC ভেক্টর দ্বয়ের লব্ধি বা যোগফল । এই যোগফল কোনো বীজগাণিতিক যোগফল নয় ।

তীর চিহ্ন যুক্ত চিহ্ন দ্বারা ভেক্টর লেখা হয়। এর দ্বারা মাণ ও অভিমুখ দুটোই প্রকাশ পায়। উপরের তিন টি ভেক্টরের সম্পর্ক নিচের সমীকরণের সাহায‍্যে লেখা হয়।

s = a + b 

উপরের সমীকরণ দ্বারা জানা যায়  a ও b ভেক্টরের লব্ধি বা যোগফল হল s ভেক্টর।ভেক্টর যোগ বীজগাণিতিক যোগের থেকে আলাদা।ভেক্টর যোগের মধ‍্যে মান ও অভিমুখ দুটোই সংযুক্ত থাকে। 

উপরের চিএে জ‍্যামিতিক উপায়ে a ও b ভেক্টরের যোগ দেখানো হয়েছে। কাগজের উপরে সুবিধা মত স্কেলে a ভেক্টর আঁকা হয়। ওই একই স্কেলে a ভেক্টরের অগ্রভাগে b ভেক্টরের পশ্চাৎ প্রান্ত বসিয়ে b ভেক্টর(সমান্তরাল ভাবে) অঙ্কণ করা হয়।  এর পর a ভেক্টরের পশ্চাৎ অংশের সঙ্গে b ভেক্টরের অগ্রভাগ যুক্ত করা হয় এবং লব্ধি ভেক্টর s ণির্ণয় করা হয়।

ভেক্টর যোগের দুটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ঠ আছে। প্রথমত ভেক্টর যোগ ক্রম নিরপেক্ষ। a র সঙ্গে b ভেক্টর যোগ করলে যে ফল পাওয়া যাবে, b এর সঙ্গে a  যোগ করে একই ফল পাওয়া  যাবে।

অর্থাৎ a +b = b +a 

এটি  ভেক্টর যোগের বিনিময় নিয়ম (  commutative law)

দ্বিতীয়ত যেখানে দুই এর অধিক ভেক্টর যুক্ত হয় তখন যে কোনো ক্রমে দলবদ্ধ করে আমরা ভেক্টর গুলি যোগ করতে পারি।

এই ভাবে যদি আমরা a,  b ও c ভেক্টর যোগ করতে চাই তাহলে a, b যোগফলের সাথে c ভেক্টর যোগ করতে পারি অথবা b, c এর যোগফলের সাথে a  যোগ করতে পারি। উভয় ক্ষেএে একই ফল পাওয়া যাবে।

অর্থাৎ ভেক্টর যোগের ক্ষেএে সংযোযন নিয়ম খাটে।

(a + b) + c = a + ( b + c) ( associative law )

 - b ভেক্টর হল b এর সমান কিন্থ বিপরীত মুখী। b ভেক্টরের সঙ্গে - b ভেক্টর যোগ করলে শৃন‍্য ভেক্টর (  null vector) হয়।

b + ( - b ) = 0

- b ভেক্টর যোগের অর্থ হল b ভেক্টরের বিযোগ ফল।

এই বৈশিষ্ঠ কাজে লাগিয়ে দুটি ভেক্টরের বিযোগ ফল সজ্ঞায়িত করা যায়।

যেমন - d = a - b = a + ( -b )

অর্থাৎ a ভক্টরের সঙ্গে - b যোগ করে d ভেক্টর পাওয়া যায়।

যদিও এখানে আমরা সরণ ভেক্টর ব‍্যবহার করেছি, ভেক্টর যোগ ও বিযোগ এর নিয়ম সকল ভেক্টর রাশির ক্ষেএে  প্রযোয‍্য। অবশ‍্য আমরা দুটি একি প্রকার ভেক্টর যোগ করতে পারি। যেমন - সরণের সঙ্গে সরণের যোগ, গতি বেগের সঙ্গে গতিবেগের যোগ ইত‍্যাদি। সরণের সঙ্গে গতিবেগ যোগের কোন অর্থ হয় না।

ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূএ : 

যদি একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর দ্বারা দুটি ভেক্টরকে মানে ও অভিমুখে প্রকাশ করা যায় তাহলে ওই সন্নিহিত বাহু দুটির সংযোগ বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত কর্ণটি ভেক্টর দ্বয়ের লব্ধির মান ও অভিমুখ প্রকাশ করবে।

মনে করি A ও B ভেক্টর দ্বয়ের মধ‍্যে কোন α। B ভেক্টরকে সমান্তরাল ভাবে সরিয়ে QR অবস্থানে আনা হল।এর পর PR যোগ করা হল। PR হল A ও B ভেক্টরের লব্ধি। এখন PQRS সামান্তরিক সম্পূর্ণ করা হল। 

∴ PQ + QR = PR 

বা, A + B = C 

ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূএ থেকে এিভুজ সূএ পাওয়া যায়। 

ভেক্টর যোগের এিভুজ সৃএ : 

একই  ক্রমে গ্রিহীত একটি এিভুজের দুটি বাহু দুটি ভেক্টরকে মানে ও অভিমুখে প্রকাশ করলে বিপরীত ক্রমে গ্রিহীত তৃতীয় বাহুটি লব্ধির মান ও অভিমুখ প্রকাশ করবে।

লব্ধি ভেক্টরের মান ও অভিমুখ নির্ণয়ের পদ্ধতি নিম্নে প্রদও হল। মনে করি A ওB ভেক্টরের মধ‍্যের কোন α। লব্ধি ভেক্টর C , A ভেক্টরের সঙ্গে β কোন করে। 

R থেকে PQ এর বর্ধিতাংশের উপর RT লম্ব টানা হল। PRT সমকোণী এিভুজ থেকে পাই 

PR²   = PT² + RT²

          = ( PQ +QT)² + RT²

            = PQ² + 2PQ.QT + QT² + RT²

RQT সমকোণী এিভুজ থেকে পাই,

RT/QR = sin α, QT/QR = cosα

RT = QR sinα, QT = QR cosα

উপরের সম্পর্ক গুলি ব‍্যবহার করে 

PR² = PQ² + 2PQ QR cosα + QR² cos²α + QR²sin²α 

PR² = PQ² + QR² + 2PQ. QR cosα

C² = A² + B² + 2 AB cosα

∴ C = ✓( A² + B² + 2AB cos α) 

লব্ধি ভেক্টর C অভিমুখ কোণ β থেকে জানা যায় ।

উপরের চিত্র থেকে পাওয়া যায় - 

tan β = RT/PT = RT/ (PQ + QT) 

        = QR sin α / ( PQ + QR cos α ) 

     tan β  = B  sin α/( A + B cos α) 

উপরের সম্পর্ক থেকে  β   কোণের মান  জানা যায় ।

ভেক্টর যোগের বহুভূজ সূত্র :

যদি একটি বহুভূজের একই ক্রমে গৃহীত বাহুগুলির দ্বারা কতক গুলি ভেক্টরকে মানে এবং অভিমুখে প্রকাশ করা যায় তাহলে বিপরীত ক্রমে গৃহীত শেষ বাহুটি উক্ত ভেক্টরগুলির লব্ধির মান ও অভিমুখ প্রকাশ করবে ।

উপরের চিএে PQRST বহুভূজের PQ, QR, RS ও ST বাহুর দ্বারা যথাক্রমে A, B, C এবং D ভেক্টর কে বুঝানো হয়েছে। এই ভেক্টরগুলির লব্ধি E ভেক্টর শেষ বাহু PT দ্বারা বুঝানো যাবে। 

ভেক্টরের উপাংশ :

জ‍্যামিতিক উপায়ে ভেক্টর যোগ জটিল হতে পারে। কিন্তু কার্তেসীয় পদ্ধতিতে ভেক্টর রাশির উপাংশে বিভাজনের দ্বারা ভেক্টর যোগ অনেক সহজ হয়।

একটি অক্ষের উপর একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ কে বলা হয় উহার উপাংশ।

চিএে aₓ হল a ভেক্টরের x অক্ষের দিকে উপাংশ। অনুরুপে aу হল y অক্ষের দিকে a ভেক্টরের উপাংশ।

কোনো ভেক্টরের উপাংশ নেওয়ার জন‍্য ভেক্টরটির দুই প্রান্ত থেকে অক্ষটির উপর দুটি লম্ব টানা হয়। x অক্ষের দিকের উপাংশকে x-উপাংশ এবং y অক্ষের দিকের উপাংশ কে y-উপাংশ বলে। ভেক্টরের উপাংশে বিভাজনের প্রকৃয়াকে ভেক্টর বিভাজন বলে।

উপাংশ ভেক্টর গুলির দিক আসল ভেক্টরের দিকের অনুরূপ হয়। চিএে x-উপাংশ এবং y-উপাংশ উভয়ই ধনাত্মক কারন a ভেক্টর উভয় অক্ষের ধনাত্মক দিকে বিস্তৃত। যদি আমরা a ভেক্টরটিকে বিপরীত মুখী করি তাহলে উভয় উপাংশের অভিমুখ ঋনাত্বক দিকে হবে । অর্থাৎ  তীরচিহ্ন গুলির দিক x অক্ষ ও y অক্ষের ঋনাত্বক দিকে হবে । 

একটি ভেক্টরের সাধারণত তিনটি উপাংশ থাকে , x ,y ও z - উপাংশ । এখানে z উপাংশের মান শূন্য (0) । জামিতিকভাবে আমরা a ভেক্টরের মান উপরের সমকোণী ত্রিভুজ থেকে নির্ণয় করতে পারি । ম্যান গুলি হলো - 

aₓ = a cos θ এবং aₕ = a sin θ 

একটি ভেক্টরকে বিভাজিত করার পর আমরা আসল ভেক্টরের পরিবর্তে উপাংশ গুলি নিয়ে কাজ করতে পারি । আমরা যদি উপাংশ ভেক্টর গুলি জানি তাহলে আসল ভেক্টরটির মান ও অভিমুখ নীচের সমীকরণ থেকে জানা যাবে । 

a = √ ( aₓ² + aₕ²) , tanθ =aₕ/ aₓ 

ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে একটি ভেক্টরকে নিৰ্দিষ্ট করতে মান ও দুটি কোনের ( a ,θ , φ ) প্রয়োজন হয়  অথবা তিনটি উপাংশের ( aₓ ,ay ও az ) দরকার হয় ।

একক ভেক্টর (Unit Vectors) :

একটি নিৰ্দিষ্ট দিকে ক্রিয়াশীল যে ভেক্টরের মান এক তাকে একক ভেক্টর বলে । এর কোনো মাত্রা ও একক নেই । এটি অভিমুখ বুঝানোর জন্য ব্যবহার করা হয় । x , y ও z অক্ষের দিকে বিস্তরিত একক ভেক্টরগুলিকে যথাক্রমে  i , j ও k  দ্বারা লেখা হয় ।

যে কোনো ভেক্টরকে একক ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা খুবই প্রয়োজনীয়  হয় । আমরা উপরের a এবং b ভেক্টরকে একক ভেক্টরের সাহায্যে নিম্নরূপে প্রকাশ করতে পারি ।

        a = aₓ  i  + aₕ j 

এবং b = bₓ i + bₕ j 

এখানে  aₓ  i   এবং  aₕ j হল a ভেক্টরের উপাংশ ।  aₓ এবং aₕ হল a ভেক্টরের স্কেলার উপাংশ ।

উপাংশের দ্বারা ভেক্টর যোগ ( Adding vectors by components) : 

ছবি এঁকে আমরা কতকগুলি ভেক্টরকে জ্যামিতিক উপায়ে যোগ করতে পারি ।অন্যভাবে ভেক্টরের উপাংশগুলিকে অক্ষ অনুসারে সংযুক্ত করে আমরা ভেক্টরের লব্ধি বা যোগ করতে পারি । মনেকরি দুটি ভেক্টর  a = aₓ  i  + aₕ j + aₖ k এবং 

                                                                    b =  bₓ i + bₕ j + bₖ k ( উপাংশ আকারে দেওয়া আছে )

এদের লব্ধি ভেক্টর r   হলে , r =  a + b 

                                                 = (aₓ  i  + aₕ j + aₖ k) + (bₓ i + bₕ j + bₖ k)

                                                  = (aₓ + bₓ) i  + (aₕ + bₕ) j  +( aₖ +  bₖ) k 

= rₓ i + rₕ j + rₖ k ( যেখানে rₓ = (aₓ + bₓ), rₕ = (aₕ + bₕ) এবং rₖ = ( aₖ +  bₖ) )

এখানে i , j এবং k  একক ভেক্টরের অনুরূপ সহগগুলি সংযুক্ত করা হয়েছে । উপরের পদ্ধতি ভেক্টর বিয়োগের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য , এক্ষেত্রে শুধুমাত্র  অনুরূপ সহগ গুলি বিয়োগ করা হয় । উপরের ভেক্টর দুইটি বিয়োগ করলে হবে - 

r =  a - b

    = (aₓ  i  + aₕ j + aₖ k)  - (bₓ i + bₕ j + bₖ k)

    = (aₓ - bₓ) i  + (aₕ - bₕ) j  +( aₖ - bₖ) k 

  = rₓ i + rₕ j + rₖ k ( যেখানে rₓ = (aₓ - bₓ), rₕ = (aₕ - bₕ) এবং rₖ = ( aₖ - bₖ) )

ভেক্টর ও পদার্থ বিদ‍্যার নিয়ম।

ভেক্টর রাশির যোগ বা বিয়োগ নির্দেশ তন্ত্র নিরপেক্ষ। যে কোনো নির্দেশ তন্ত্রে ভেকটর যোগের ফল একই হয়। কারণ - ধরা যাক x-y নির্দেশ তন্ত্রে   a ভেক্টরের উপাংশ (  aₓ, aₕ)। অপর একটি নির্দেশ তন্ত্র (x ′, y′) এ উপাংশ গুলি (aₓ′, aₕ′)। এই উপাংশ গুলি একি ভেক্টরকে প্রকাশ করে। 

a = ✓(  aₓ² + aₕ²) = √(aₓ'² + aₕ'²) 

এবং θ = θ′ + φ

এখানে উল্লেখযোগ‍্য বিষয় হল ভেক্টর রাশির মধ‍্যে সম্পর্ক নির্ণয়ের ক্ষেএে নির্দেশতন্ত্র বেছে নেওয়াতে আমাদের অনেক স্বাধীনতা আছে। ভেক্টরের লব্ধি নির্দেশতন্ত্রের মূলবিন্দুর  অবস্থান বা অক্ষ সমুহের অভিমুখের উপর নির্ভর করে না। পদার্থবিদ‍্যার নীতি গুলিও নির্দেশতন্ত্র নিরপেক্ষ অর্থাৎ কোনো নির্দেশতন্ত্রের উপর নির্ভর করে না।

ভেক্টরের গুণ: 

তিন রকমের ভেক্টর গুণ আছে। এই তিন ধরনের গুনের কোনটাই সাধারণ বীজগণিতের গুণের মত নয়।

স্কেলার দিয়ে ভেক্টরের গুণ:

যদি একটি ভেক্টর a কে স্কেলার s দিয়ে গুণ করা হয় তাহলে ভেক্টর পাওয়া যায়। নূতন ভেক্টরের মান a এর মান ও s এর গুনফলের সমান এবং এর দিক a ভেক্টরের দিকর অনুরূপ হয়(  s ধনাত্মক হলে)। আর s ঋনাত্মক হলে দিক বিপরীত হয়।

দুটি ভেক্টেরের গুন :

একটি ভেক্টরকে আর একটি দিযে গুন দুই প্রকারে হয়। এক প্রকার গুনে ভেক্টর গুন করলে একটি স্কেলার হয়। দ্বিতীয় প্রকার গুনে দুটি ভেক্টর গুন করলে একটি ভেক্টর হয়। 

স্কেলার গুনফল : 

a ও b ভেক্টরের স্কেলার গুণফলকে a.b আকারে লেখা হয় এবং এটি নিম্ন রূপে সংজ্ঞায়িত হয়।

a. b =  ab cos φ

যেখানে a, b হল a ও b ভেক্টরের  মান। φ হল a, b ভেক্টরের মধ‍্যবর্তী কোণ। স্কেলার প্রোডাক্ট হল কোনো একটি ভেক্টরের মান ও ওই ভেক্টরের অভিমুখ অন‍্য ভেক্টরের উপাংশের গুনফল।

উপরের সমীকরণের ডান পক্ষ একটি স্কেলার। এই গুণফল  dot product নামেও পরিচিত।

উপরের সমীকরণটি নিম্ন রূপে লেখা যায়।

a.b = (a cos φ) b = a ( b cos φ)

স্কেলার গুণফল বিনিময় নিয়ম মান‍্য করে।

অর্থাৎ a.b = b.a 

দুটি ভেক্টরকে একক ভেক্টরের সাহায‍্যে লিখে স্কেলার প্রোডাক্ট কে নিম্ন রূপে লেখা যায়।

a.b = (aₓi + aₕj + aₖk ).(bₓi + bₕj + bₖk)

 = aₓbₓ + aₕbₕ + aₖbₖ( যেহেতু i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 0)

ভেক্টর গুণফল :

a ও b ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলকে a ×b আকারে লেখা হয়। গুণফল একটি তৃতীয় ভেক্টর c হয়। অর্থাৎ 

c = a × b  এবং এর মান 

c = ab sin Φ, যেখানে Φ হল a ও b এর মধ‍্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণ। এই গুণফলকে ক্রশ প্রোডাক্ট বলে। c ভেক্টরের অভিমুখ a ও b ভেক্টর দ্বারা গঠিত তলের সঙ্গে লম্ব হয় এবং দক্ষিণহস্ত নিয়ম দ্বারা ঠিক হয়।

দক্ষিণ হস্ত ণিয়ম :

a ও b ভেক্টর দ্বয়ের পশ্চাৎ প্রান্ত পরস্পর স্পর্শে আনতে হবে। ডান হাতের বুড়ো আঙুল বাদে অন‍্যান‍্য আঙুল গুলি a ভেক্টরের অভিমুখে  প্রসারিত করতে হবে এবং b এর দিকে ঘোরালে বুড়ো আঙুলের অভিমুখ হবে c ভেকটরের অভিমুখ।( চিত্র (a))

ভেক্টর গুণের ক্ষেএে ক্রম একটি উল্লেখযোগ‍্য বিষয়। b এর সঙ্গে a এর গুণ করলে c ভেক্টরের অভিম ুখ বিপরীত হবে। অর্থাৎ 

b ×a = - (a ×b )

বিনিময় ণিয়ম ভেক্টর প্রোডাক্ট এর সময় খাটে না।

একক ভেক্টরের সাহায‍্যে ভেক্টর প্রোডাক্ট কে নিম্নরূপে লেখা যায়।

a×b = (aₓi + aₕj ÷aₖk ) × (bₓi + bₕj + bₖk ) 

উপরের প্রতিটি উপাংশের সঙ্গে অপর ভেক্টরের প্রতিটি উপাংশ গুণ করে বিস্তার করতে পারি। বিস্তারের সময় নীচের সম্পর্কগুলি কাজে লাগাতে হবে।

i × i = j ×j = k × k = 0

i×j =k, j× k = i, k × i = j

j × i = - k, k × j =- i, i × k = -j 

উপরের নিয়মগুলি করে আমরা পাব 

a× b = ( aₕbₖ - bₕaₖ) i + ( aₖbₓ - bₖaₓ)j + ( aₓbₕ - bₓaₕ) k

a, b ভেক্টরকে ডিটারমিনেন্ট আকারে লিখেও ভেক্টর গুনফল করা যায়।

আপেক্ষিক বেগ (Relative Velocity ) : 

যখন দুটি বস্তু একই সরল রেখায় গতিশীল থাকে তখন তাদের আপেক্ষিক গতিবেগের দ্বারা গতির তুলনা করা হয় । যদি দুটি বস্তু M এবং N সরল রেখায় গমন করে এবং ওদের বেগ  যথাক্রমে Vₘ ও Vₙ হয় তাহলে N এর সাপেক্ষে M এর আপেক্ষিক বেগ Vₘ ₙ =  Vₘ -  Vₙ = Vₘ + (-  Vₙ ) = M এর বেগ ও N এর সমান ও বিপরীত বেগের লব্ধি । 

আবার M এর সাপেক্ষে N এর আপেক্ষিক বেগ Vₙ ₘ = Vₙ - Vₘ 

স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে Vₘ ₙ = - Vₙ ₘ অর্থাৎ N সাপেক্ষে M এর আপেক্ষিক বেগ M সাপেক্ষে N এর আপেক্ষিক বেগের মান সমান কিন্তু বিপরীত মুখী ।

প্রশ্ন - 

1.A ওB ভেক্টর দুটির ক্ষেএে  l A + B I = l A - B l হলে A ও B এর মধ‍্যে কোনের মান কত? 

উওর : 

l A + B l² = l A - B |²

A² + B² + 2AB Cosθ  =  A² + B²- 2AB Cosθ

⇏2AB Cos θ = 0 

বা Cos θ = 0 

∴ θ = 90º 

A ও B এর মধ‍্যবর্তী কোণ 90º।

বহু বিকল্প ভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ ):  (https://forms.gle/d2LAmS62pHa1ttUw6)

1. যদি কোনো ভেক্টরকে 2 দ্বারা গুন্ করা হয় তাহলে কি হবে?

a) ভেক্টরটির মান দ্বিগুন হবে  ,অভিমুখ একই থাকবে । 

b) ভেক্টরটির মান ঠিক থাকবে কিন্তু দিক বিপরীত হবে ।

c) ভেক্টরটির মান দ্বিগুণ হবে কিন্তু অভিমুখ বিপরীত হবে ।

d) ভেক্টরটির মান ও অভিমুখের কোনো পরিবর্তন হবে না ।

2. কোনো ভেক্টরকে  -2 দ্বারা গুণ করলে  -

a) ভেক্টরটির মান দ্বিগুন হবে ,কিন্তু দিক একই থাকবে ।

b) মান একি থাকবে  কিন্তু দিক বিপরীত হবে ।

c) মান দ্বিগুণ হবে  এবং অভিমুখ বিপরীত হবে । 

d) মান ও অভিমুখ কোনোটাই পরিবর্তন  হবে না । 

3.শুন্য ভেক্টর ( null vector) এর -

 

a) মান শূন্য ও নিৰ্দিষ্ট অভিমুখ আছে ।

b) নিৰ্দিষ্ট মান আছে কিন্তু কোনো নিৰ্দিষ্ট দিক নেই ।

c) নিৰ্দিষ্ট মান ও অভিমুখ আছে  ।

 d) মান শূন্য ও কোনো নিৰ্দিষ্টঅভিমুখ নাই । 

4 . 3 একক ও 4 একক দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান 5 একক হলে ওদের মাঝের কোণ কত ? 

a)  π/4                        b) π/2 

c) 3π/4                       d) π

5. দুটি সমান ভেক্টরের লব্ধির মান যে কোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান হলে ওদের মাঝের কোণ কত ?

a) 60º                      b) 90º

c) 120º                    d)  150º    

6.দুটি সম ভেক্টরের লব্ধির মান যে কোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান হলে লব্ধি ও যে কোনো একটি ভেক্টরের সঙ্গের কোণ কত?

a) 60º           b) 120º

c) 90º             d)150º 

7.   P = A + B এবং Q = A - B। যদি P ও Q ভেক্টরের মান সমান হয় তাহলে A ও B ভক্টরের মধ‍্যে কোণ কত? 

a) zero            b) π/4 

c) π/2                d) π

8. নিচে চার জোড়া সরণ ভেক্টর আছে । কোন জোড়া ভেক্টরটির লব্ধি র মান 4 cm হতে পারে না ?

a) 2 cm , 3 cm            b)  1 cm , 3 cm 

c) 1 cm , 5 cm             d) 1 cm ,7cm 

9. যদি দুটি ভেক্টর A এবং B এর যোগফল (  A + B ) , ভেক্টর দুটির বিয়োগ ফলের(A  -B) সমান হয় তাহলে - 

a) A শূন্য ভেক্টর (null vector)          b) B শূন্য ভেক্টর (null vector) 

c) A, B দুটোই শূন্য ভেক্টর               d) A ও B কোনটিই শূন্য ভেক্টর নয় ।

 

10.  A.B = 0 এবং A x C  = 0 হলে B ও C এর মধ্যে কোণ কত ? 

a) 45º                      b) 90º   

c) 135º                     d) 180º   

11. দুটি ভেক্টর A ও B এর লব্ধি প্রতিটি ভেক্টরের সঙ্গে 45º কোণ করে । লব্ধির মান হবে - 

a) zero                   b) ✓2 A 

c) A                       d) 2A 

12.A , B এই দুই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 60º | C  অপর একটি ভেক্টর যা A,B ভেক্টরের তলের লম্ব ভাবে ক্রিয়া করে । নীচের কোণ সম্পর্কটি সম্ভব ? 

a) A + B = C           b)  A +C = B 

c) A x B = C            d) A x C =B 

13. A ,B ভেক্টরের যোগফল হল C  এবং D ভেক্টর হলো A ,B এর ভেক্টর গুণফল । C এবং D এর মধ্যে কোণ কত ?

a) zero                 b) 60º

c) 90º                    d)  180º 

14.C = A×B এবং D = B × A হলে C ওD এর মধ‍্যে কোণ কত? 

a) zero           b) 60º

c) 90º              d) 180º

15. 3 একক ও 4 একক মানের দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান 1 একক। ভেক্টর দটির স্কেলার গুনফল কত? 

a) -12 একক               b) -7 একক 

c) -1 একক                   d) zero 

16. 3 একক ও 4 মানের দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান 1 একক।ভেক্টর দুটির ক্রস প্রোডাক্টের মান কত? 

a) 12 একক           b) 7 একক 

c) 1 একক              d) zero 

17. A, B ও C ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক A + B = C | C  ভেক্টর A ভেক্টরের সঙ্গে লম্ব  এবং C এর মান A মানের সঙ্গে সমান । A এবং B এর মধ্যে কোণ কত ? 

a) 45º                     b) 90º 

c) 135º                   d) 180º 

18. A + B ভেক্টর ও A -B ভেক্টরের লব্ধির মান -

a) 2A                   b) 2B 

c) √ ( A² + B²)     d)√ ( A² - B²) 

19. A + B ভেক্টর ও A -B ভেক্টরের লব্ধি A ভেক্টরের সঙ্গে কত কোণ করে ? 

a) zero                 b) cos⁻¹ ( A/B) 

c) cos⁻¹( B/A)      d) cos⁻¹ ( (A - B)/(A + B) ) 

20. চিত্রে R হল A ও B ভেক্টরের লব্ধি । যদি R = B/2 হয় তাহলে θ কোণের ম্যান - 

a) 30º                     b) 45º 

c) 60º                      d) 75º 

21.অনুভূমিক ভাবে 4 m/s বেগে  চলমান একটি বেল্টের উপর P ও Q দুই ব্যক্তি 54 m দুরত্বে দাঁড়িয়ে আছে । বেলটির গতি P থেকে Q এর দিকে । P একটি বল Q দিকে বেল্টের ওপর 9 m/s বেগে ছুঁড়ে দেয় । স্থির প্লাটফর্মের সাপেক্ষে বলটির বেগ কত ? 

a) বলটির বেগ বেলটির বেগের অভিমুখে 13 m/s  । 

b) বলটির বেগ বলটির বেগের বিপরীত দিকে  13 m/s | 

c) বলটির বেগ বেলটির বেগের অভিমুখে 5 m/s 

d) বলটির বেগ বেলটির  বেগের বিপরীত দিকে 5 m/s | 

22. যদি  21 নং প্রশ্নে Q , 9 m/s বেগে P এর দিকে বলটি ছুঁড়ে দেয় তাহলে স্থির প্লাটফর্মের সাপেক্ষে বলটির বেগ কত ? 

a)  বলটির বেগ বেলটির বেগের অভিমুখে 13 m/s  । 

b) বলটির বেগ বলটির বেগের বিপরীত দিকে  13 m/s | 

c) বলটির বেগ বেলটির বেগের অভিমুখে 5 m/s | 

d) বলটির বেগ বেলটির  বেগের বিপরীত দিকে 5 m/s | 

 23. 21 নং প্রশ্নে বলটির P থেকে Q তে পৌঁছাতে কত সময় লাগবে ? 

a) 54/13 s          b)  54/5 s 

c) 6 s                 d) 27/2 s 

24. বৃষ্টি উলম্ব ভাবে 4 m/s বেগে পড়ছে ।  এক সাইকেল আরোহী উত্তর থেকে দক্ষিণে  3 m/s বেগে চলছে । বৃষ্টির হাত থেকে বাঁচার জন্য সাইকেল আরোহী θ কোণে ছাতা ধরলে θ এর মান হবে ? 

a) tan⁻¹(3/4) কোণে উত্তর পশ্চিম দিকে । 

b)  tan⁻¹(3/4) কোণে দক্ষিণ পশ্চিম দিকে । 

c)  tan⁻¹(4/3) কোণে উত্তর পূর্ব দিকে  । 

d) tan⁻¹(4/3) কোণে দক্ষিণ পূর্ব দিকে  । 

25. 24 নং প্রশ্নে কত গতিবেগে বৃষ্টি ছাতার উপর পড়বে ? 

a) 1 m/s        b) 7 m/s  

c) 5 m/s         d) 3.5 m /s 

উত্তর : 

1. a) 

2. c) 

3.d) 

4. A ও B ভেক্টরের মধ্যে কোণ θ ও লব্ধি R হলে , 

 

R² = A² + B² + 2AB cos θ 

∴ cos θ  = (R² - A² - B²)/(2AB) 

           = ( 5² - 3² - 4²)/(2 x 4 x3 ) = 0 

∴  θ = π/2 

উত্তর  - b) 

5. A ও B ভেক্টরের মধ্যে কোণ θ ও লব্ধি R হলে , 

 

R² = A² + B² + 2AB cos θ 

এখানে A = B = R

 ⇒ A² = A² + A² + 2AA cos θ 

∴ cos θ = -1/2 

⇒ θ = 120⁰ 

উত্তর  c) 

6. এখানে যেহেতু তিনটি ভেক্টরের মান সমান সেজন্য তিনটি ভেক্টরকে একটি সম বহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দ্বারা প্রকাশ করা যাবে । সুতরাং লব্ধি ও যেকোনো ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ হবে 60⁰ | 

7. যদি A ও B ভেক্টরের মধ্যে কোণ θ হয় তাহলে 

P² = A² + B² + 2AB cos θ

এবং Q² = A² + B² - 2AB cos θ 

যেহেতু  P = Q 

cos θ = 0 

  ⇒ θ = π/2 

উত্তর  - c) 

8. A, B ভেক্টরের লব্ধি R হলে ,

R² = A² + B² + 2AB cosθ 

θ = 0 হলে R এর মান সর্বোচ্চ হবে । 

∴ Rmax = A + B 

এবং Rmin = A - B 

⇒ লব্ধির মান A +B ও A -B এর মধ্যে হবে । 

∴ উত্তর  d) 

9.যেহেতু A + B = A - B 

∴ B = 0 

উত্তর - b) 

10. যেহেতু A.B = 0 ⇒ A ⊥ B 

আবার A x C = 0 ⇒ A ॥ C 

∴ B  ⊥ C 

উত্তর ;  b) 

11. এখানে A ও B ভেক্টরের মধ্যে কোণ 90⁰ এবং A = B 

লব্ধি R হলে 

R² = A² + B² + 2AB cosθ

 = R² = A² + A² + 2AA cos90⁰ 

    = 2 A²

⇒ R = √2 A 

উত্তর - b) 

12. যেহেতু C ভেক্টর A ও B উভয় ভেক্টরের সঙ্গে লম্ব ভাবে আছে  , অতএব যেকোনো দুটি ভেক্টরের যোগফল অন্য ভেক্টর হতে পারে না । অর্থাৎ a) এবং b) হবে না । যেহেতু B , A উপর লম্ব নয় অতএব উত্তর d) হবে না । 

∴ সঠিক উত্তর c)