গতি সূত্র ও ঘর্ষণ ( Laws of Motion and Friction )

 গতি সূত্র  ও ঘর্ষণ ( Laws of Motion and Friction ) : 

নিউটনের প্রথম গতিসূত্র ) - 

বাহির থেকে বল প্রয়োগের দ্বারা বাধ্য না করলে স্থির বস্তু চিরকাল স্থির থাকবে আর গতিশীল বস্তু  চিরকাল সম বেগে সরল রেখায় গতি বজায় রাখবে । 

এই সূত্র থেকে বলের সংজ্ঞা ও বস্তুর জাড্য বা জড়তা সম্পর্কে জানতে পারা যায় । 

বল : বাহিরের থেকে কোনো বস্তুর উপর যা প্রয়োগ করলে বস্তুর স্থিতিশীল বা গতিশীল অবস্থার পরিবর্তন করে বা করতে সচেষ্ট হয় তাকে বল বলে । 

বস্তুর জড়তা : বস্তুর স্বাভাবিক প্রবণতা হল তার স্থিতিশীল বা গতিশীল অবস্থা বজায় রাখতে সচেষ্ট হয় । বস্তুর  এই  প্রবণতাকে তার জড়তা বা জাড্য ধৰ্ম বলে । জাড্য দুই প্রকারের । স্থিতি জাড্য এবং গতিজাড্য । স্থিতিশীল বস্তুর প্রবণতা হলো তার স্থিতিশীলতা ধর্ম বজায় রাখা - এই ধর্মকে স্থিতিজাড্য বলে । গতিশীল বস্তু সমবেগে তার গতিশীলতা ধৰ্ম বজায় রাখতে চায় - একে গতি জাড্য বলে । 

বস্তুর ভর হয় তার জাড্যের পরিমাপ । বস্তুর স্থিতিশীল বা গতিশীল অবস্থার পরিবর্তন করতে ভর ই  বাধা দেয় । তাই ভরকে বস্তুর জাড্যের পরিমাপ বলে । 

নিউটনের দ্বিতীয় গতি সূত্র : 

কোনো বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তণ হলে ভরবেগ  পরিবর্তনের হার বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক হয় । ভরবেগের পরিবর্তন প্রযুক্ত বলের অভিমুখে হয় ।

ভরবেগ : ভর ও বেগের সমন্বয়ে কোনো বস্তুতে যে গতির সঞ্চার হয় তাকে ভরবেগ বলে । ভর ও বেগের গুনফল দ্বারা ভরবেগ পরিমাপ করা হয় । এটি ভেক্টর রাশি । 

ভরবেগ p , ভর m এবং গতিবেগ v হলে 

p = mv , ভরবেগের অভিমুখ বেগের অভিমুখে হয় । 

উপরের সমীকরণকে অবকল করে পাই ,

dp/dt  = m dv/dt ( ∵ m = ধ্রুবক ) 

   = m a ( a = dv/dt = বল প্রয়োগের ফলে সৃষ্ট ত্বরণ ) 

dp/dt  প্রযুক্ত বল F এর সঙ্গে সমানুপাতিক 

⇒ F ∝ ma

অথবা a ∝ F/m 

উৎপন্ন ত্বরণ প্রযুক্ত বলের সঙ্গে সমানুপাতিক এবং ভরের সঙ্গে ব্যাস্তানুপাতিক । 

আমরা পেয়েছি, F ∝ ma 

 F = k ma ( k হল সমানুপাতিক ধ্রুবক ) এককের নির্বাচন দ্বারা আমরা k এর মান একক ধরতে পারি । 

মনেকরি m = 1 , a = 1 হলে F = 1 হয়।

অতএব, 1 = k .1.1 

অতএব k = 1 

⇒ F =ma 

SI পদ্ধতিতে বলের একক নিউটন ( N ) । 

1kg ভরের বস্তুর ওপর যে বল প্রয়োগ করলে বলের অভিমুখে 1 m/s² ত্বরণ সৃষ্টি হয় সেই পরিমাণ বলকে এক নিউটন বলে । বলের মাত্রা  [MLT⁻² ] 

নিউটনের তৃতীয় গতিসূত্র : 

যখনই কোনো বস্তু অন্য কোনো দ্বিতীয় বস্তুর ওপর বল(ক্রিয়া ) প্রয়োগ করে তখন দ্বিতীয় বস্তুও প্রথম বস্তুর একটি সমান ও বিপরীত মুখী বল(প্রতিক্রিয়া ) প্রয়োগ করে । অথবা প্রত্যেক ক্রিয়ার একটি সমান ও বিপরীত প্রতিক্রিয়া আছে । ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া ভিন্ন বস্তুর উপর কাজ করে । প্রতিক্রিয়া বাদদিয়ে কোনো ক্রিয়া হয় না । 

বলের ঘাত (Impulse ) : 

মনে করি একই সরল রেখায় গতিশীল  A ও B বস্তু দুটি র মধ্যে সংঘর্ষ ঘটে । সংঘর্ষের ক্রিয়া কাল  t ,অর্থাৎ t সময় ধরে বস্তুদুটির সংস্পর্শ ঘটে এবং ভর বেগের পরিবর্তন ঘটে । সংঘর্ষের পরে ভিন্ন বেগে একই সরল রেখায় গমন করে । 

প্রযুক্ত বলের গড় মান ও উহার ক্রিয়া কালের গুণফলকে বলের ঘাত বলে । 

অর্থাৎ I = F .t  = △p ( I = বলের ঘাত, △p = ভরবেগের পরিবর্তন ) 

বলের ঘাত একটি ভেক্টর রাশি । এর একক kg m s⁻¹ বা N. s 

ত্বরিত ও অত্বরিত নিৰ্দেশ তন্ত্র ( Non-inertial and Inertial Frames) ; 

আমরা জানি গতি এবং স্থিতি আপেক্ষিক । পরম স্থিতি ও পরম গতিশীল বলে কিছু হয় না । বস্তুর অবস্থান বা তার গতীয় অবস্থা বিভিন্ন নিৰ্দেশ তন্ত্র অনুসারে বিভিন্ন হতে পারে । যেমন যাত্রীরা এবং চলন্ত ট্রেনের ভিতরে অবস্থিত সবকিছু ট্রেনের সাপেক্ষে স্থির থাকে ,কিন্তু প্লাটফর্মের সাপেক্ষে যাত্রীরা এবং ট্রেনের ভিতরের সবকিছু গতিশীল থাকে । অনুরূপভাবে কোনো বস্তুকে চলন্ত ট্রেনের জানালা থেকে ফেলে দিলে যাত্রীর সাপেক্ষে বস্তুটির গতিপথ সোজা নিম্নাভিমুখে সরলরৈখিক মনে হবে । কিন্তু ট্রেনের বাহিরে অবস্থিত কোনো ব্যক্তির সাপেক্ষে গতিপথ অধি বৃত্তাকার মনে হবে । 

নিউটনের প্রথম গতিসূত্র সমস্ত নিৰ্দেশতন্ত্রে(Reference Frame ) প্রযোজ্য নয় । যে নিৰ্দেশতন্ত্রে সূত্রটি প্রযোজ্য সেই নিৰ্দেশ তন্ত্রকে অত্বরিত নিৰ্দেশ তন্ত্র( Inertial Frames) বলে । এই ধরণের নিৰ্দেশতন্ত্র দূরবর্তী নক্ষত্র এর সাপেক্ষে স্থির বা সমবেগে গতিশীল থাকে । অর্থাৎ যেসকল নিৰ্দেশতন্ত্রের ত্বরণ নেই বা সমবেগে গতিশীল সেই সকল নিৰ্দেশতন্ত্রকে অত্বরিত নিৰ্দেশ তন্ত্র( Inertial Frames) বলে । 

মনেকরি একটি নিৰ্দেশতন্ত্র S¹ অপর একটি নিৰ্দেশ তন্ত্র S এর সাপেক্ষে স্থির বেগে গতিশীল নয় , S¹ নিৰ্দেশতন্ত্র S এর সাপেক্ষে বৃত্তপথে ঘুরছে । অর্থাৎ S¹ , S এর সাপেক্ষে ত্বরণ যুক্ত গতিতে আছে । একটি বস্তু যা S এর সাপেক্ষে স্থির থাকে তা  S¹ এর সাপেক্ষে বৃত্তাকার গতিতে আছে বলে মনে হবে । অর্থাৎ বস্তুটিকে ত্বরিত মনে হবে S¹ এর সাপেক্ষে । সুতরাং S এর সাপেক্ষে বস্তুটির উপর কোনো বল কাজ করে না ,কিন্তু S¹ সাপেক্ষে একটি অলীক বা কাল্পনিক বল ( অভিকেন্দ্র বল ) ক্রিয়া করবে । এর অর্থ হলো নিউটনের প্রথম দুটি গতিসূত্র S¹ নিৰ্দেশতন্ত্রে প্রযোজ্য বা ঠিক থাকবে না । যে সকল নিৰ্দেশতন্ত্রে নিউটনের প্রথম দুটি সূত্র প্রযোজ্য নয় বা ঠিক থাকে না তাকে ত্বরিত নিৰ্দেশ তন্ত্র (Non-inertial Frame )বলে । 

ঘর্ষণ ( Friction) : 

যখন একটি বস্তু অপর একটি বস্তুর উপর পিছলে যায় বা গড়িয়ে চলে তখন উভয়ের স্পর্শতলে উদ্ভূত একটি স্পর্শকীয় বল গতির বিরুদ্ধে ক্রিয়া করে । এই বলকে ঘর্ষণ বলে ।

সর্বোচ্চ ঘর্ষণবল যখন একটি বস্তু কোনো তলের উপর গতিশীল হবার উপক্রম হয় তখন সেই ঘর্ষণবলকে স্থিতঘর্ষণ এর  সীমাস্ত মান  ( Limiting Friction)বলে । স্থিত ঘর্ষণ গুণাঙ্ক μₛ হলে 

   μₛ = fₛ/R (R লম্ব প্রতিক্রিয়া যা স্পর্শ তলের উপর লম্বভাবে কাজ করে ) 

একটি বস্তুকে অপর একটি বস্তুর উপর বা কোনো তলের উপর স্থির বেগে চালু থাকলে যে ঘর্ষণ বল গতির বিপরীতে কাজ করে তাকে চল ঘর্ষণ (Kinetic Friction )বলে | চল ঘর্ষণ গুণাঙ্ক kₖ হলে 

kₖ = fₖ/R  

kₖ সর্বদাই  μₛ অপেক্ষা কম  । অর্থাৎ চল ঘর্ষণের মান স্থিত ঘর্ষণ অপেক্ষা কম ।

ঘর্ষণ কোণ (Angle of Friction) : 

ঘর্ষণ বলের সীমাস্থ মান  ও লম্ব প্রতিক্রিয়ার লব্ধি লম্ব প্রতিক্রিয়ার সঙ্গে যে কোণ করে তাকে ঘর্ষণ কোণ বলে । 

tanθ = f/R =  μ 

⇒ θ = tan⁻¹ ( μ)

বিরাম কোণ ( Angle of Repose ) :

মনেকরি একটি বস্তু একটি নত তলের উপর রক্ষিত আছে । নত তলের উন্নতি কোণ ক্রমশ বৃদ্ধি করা হলে একটি নিৰ্দিষ্ট কোণে বস্তুটি পড়তে শুরু করবে । অর্থাৎ নত তলের যে সর্বনিম্ন কোণে নত তলের উপর রক্ষিত বস্তু পড়তে শুরু করে সেই কোণকে বিরামকোণ বলে । 

ঘর্ষণের সীমাস্ত মান ( f) = mg sin α 

লম্ব প্রতিক্রিয়া (R) = mg cos α 

tan α = f/R = μ = tan θ 

α = θ =  tan⁻¹ ( μ) 

মুক্ত বস্তুচিত্রের দ্বারা মেকানিক্স এ র সমস্যার সমাধান ( Solving Problems in Mechanics by Free body Diagram) :

এই ধরনের সমস্যায় একাধিক বস্তু পরস্পর সুতা ,তার ,স্প্রিং বা চক্রের দ্বারা যুক্ত থাকে । প্রত্যেক বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বলগুলি হিসাব করে প্রতিটি বস্তুর জন্য ভিন্ন ভিন্ন গতিও সমীকরণ তৈরি করা হয় । পরে সমীকরণগুলি সমাধান করে সমস্যাটির সমাধান করা হয় । সমস্যার সমাধানের জন্য রেখাচিত্র অঙ্কন করা হয় যেখানে প্রত্যেকটি বস্তুর ওপর কি কি বল ক্রিয়া করে তা স্পষ্টভাবে উল্লেখ থাকে । 

1. ঘর্ষণহীন চাকার উপর রক্ষিত একটি তারের দুই প্রান্তে বাঁধা দুটি বস্তুর গতি : 

মনেকরি একটি তার একটি ঘর্ষণহীন চাকার উপর রাখা আছে । তারের দুই প্রান্তে m₁ ও m₂ ভর সংযুক্ত আছে এবং m₁＞ m₂  । যখন বস্তু দুটিকে ছেড়ে দেওয়া হবে m₁ ভর নীচের দিকে এবং  m₂ ভর উপরের দিকে গতিশীল হবে । মনে করি তারটির ভর নগন্য ।  m₁ ভরের বস্তুর গতির সমীকরণ হবে - 

m₁g - T = m₁ a ( T তারের টান , a ত্বরণ ) 

অনুরূপে m₂ ভরের বস্তুর সমীকরণ হবে -

T - m₂ g = m₂ a 

উপরের দুই সমীকরণ সমাধান করে পাই 

a = ( m₁ - m₂) g/( m₁ +  m₂)

এবং T = 2 m₁ m₂ g /(m₁ +  m₂) 

2. ঘর্ষণহীন টেবিলে পরস্পর স্পর্শকরে রক্ষিত দুটি বস্তুর গতি : 

চিত্রে দুটি ভর m₁ এবং 

m₂ একটি ঘর্ষণহীন টেবিলের উপর রক্ষিত । চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে F বল m₁ এর উপর প্রযুক্ত হয়েছে । সংস্থাটির ত্বরণ a হলে ,

a = F/(m₁ + m₂) 

m₂ ভরের উপর স্পর্শ বল F₂ হলে ,

F₂ = m₂F/((m₁ + m₂) 

3. ঘর্ষণহীন টেবিলে স্পর্শকরে একটি  বস্তুর পরে আর একটি বস্তু রক্ষিত এরূপ তিনটি বস্তুর গতি :

ধরি একটি টেবিলের উপর তিনটি বস্তু স্পর্শকরে চিত্রের মতো করে আছে । বস্তু তিনটির ভর যথাক্রমে m₁ , m₂ এবং m₃ | m₁ভরের উপর F বল প্রযুক্ত হয়েছে । সংস্থাটির ত্বরণ a হলে 

a = F/(m₁ + m₂ +  m₃)

m₂ এবং m₃ ভরের উপর স্পর্শ বল যথাক্রমে ,

F₂ =(m₂ +  m₃ )F/(m₁ + m₂ +  m₃)

এবং F₃ =  m₃F/(m₁ + m₂ +  m₃)

4.ঘর্ষণহীন টেবিলের উপর তার দ্বারা সংযুক্ত দুটি বস্তুর গতি : 

চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে m₂ ভরের বস্তুর উপর F বল প্রযুক্ত হয়েছে । 

মনেকরি তারের টান T হলে m₁ ও m₂ ভরের গতির সমীকরণ হবে 

 m₁a = T 

m₂a  = F - T 

উপরের দুই সমীকরণ যোগ করে পাই 

a = F/(m₁ + m₂) 

তারের টান ,

T = m₁a = m₁F/(m₁ + m₂)

 m₁ ভরের উপর ক্রিয়াশীল বল 

F₁ = m₂F/(m₁ + m₂)

যদি F বল m₁ ভরের উপর কাজ করে তাহলে 

a = F/(m₁ + m₂) 

এবং T = m₂a 

 m₂ এর উপর ক্রিয়াশীল বল 

F₂ = m₁F/(m₁ + m₂)

5. মসৃণ টেবিলের উপর অবস্থিত তার দ্বারা সংযুক্ত তিনটি বস্তুর গতি :

মনেকরি তিনটি বস্তুর ভর হল - m₁ , m₂ এবং m₃ | m₁ ভরের বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল F |

সংস্থাটির ত্বরণ হবে ,

a = F/(m₁ + m₂ + m₃)

m₂ এবং m₃ ভরের বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বল যথাক্রমে 

F₂ = ( m₂ + m₃)F/(m₁ + m₂ + m₃)

এবং F₃ = m₃ F/(m₁ + m₂ + m₃)

6.দুটি বিভিন্ন ভর একটি ভরহীন তার দ্বারা সংযুক্ত এবং একটি অবলম্বনের থেকে ঝুলন্ত আছে ।

m₂ ভরের উপর F বল নিচের দিকে প্রয়োগ করা হয়েছে । m₁ এবং m₂ মধ্যেবর্তী তারের টান T হলে 

T = F + m₂ g 

অবলম্বন ও m₁ ভরের মধ্যে টান T′ = F + (m₁ + m₂)

7. ঘর্ষণহীন নততলের উপর রক্ষিত বস্তুর গতি - 

মনে করি θ কোণে আনত AB নত তলের উপর একটি বস্তু রক্ষিত আছে । AC = h | নত তল বরাবর অভিকর্ষজ ত্বরণের উপাংশ g sinθ | mgcosθ উপাংশ নত তলের লম্ব প্রতিক্রিয়া R এর সঙ্গে সমান হবে । 

যদি বস্তুটিকে  A বিন্দু থেকে ছেড়ে দেওয়া হয় তাহলে ভূমির  B বিন্দুতে পৌঁছানোর সময় বেগ v হলে 

v² = 0  + 2 a s

= 2 g sinθ L ( L = নত তলের দৈর্ঘ্য = AB ) 

= 2gh ( ∵ h = Lsinθ )

∴ v = √(2gh)

B বিন্দুতে পৌঁছাতে সময় t লাগলে 

v = at 

⇒ t = v/a = √(2gh)/(g sinθ)

t = 1/sinθ√(2h/g) 

8. ভরহীন তার দ্বারা যুক্ত দুটি বস্তুর একটি ঘর্ষণ হীন টেবিলে রক্ষিত অপরটি টেবলের প্রান্তে একটি চাকার মাধ্যমে ঝুলন্ত আছে ।

মনেকরি সংস্থাটির ত্বরণ a | 

টেবিলের উপর রক্ষিত বস্তুর গতীয় সমীকরণ 

T = m₁ a  ( T = তারের টান )

ঝুলন্ত বস্তুটির সমীকরণ ,

m₂ g -T = m₂ a 

উভয় সমীকরণ সমাধান করে পাই ,

a =m₂  g /(m₁ + m₂)

T = m₁ a 

= m₁ m₂  g /(m₁ + m₂)

টেবিল ঘর্ষণহীন হলে  m₂ ∠ m₁ হলেও m₁ গতিশীল হবে । 

9.একটি তারের দুই প্রান্তে দুটি ভর যুক্ত এবং তারটি একটি ঘর্ষণহীন  নত তলের উপর প্রান্তে অবস্থিত একটি চাকার উপরে রক্ষিত : 

নত তলের উপর রাখা বস্তুটির গতির সমীকরণ -

T - m₁g sinθ =  m₁ a  ( m₁ ভর নত তলের উপরের দিকে a ত্বরণে উঠছে ) 

কপিকলের উপর ঝুলন্ত বস্তুটির গতির সমীকরণ -

m₂ g -T = m₂ a 

উপরের সমীকরণ দুটি সমাধান করে পাই ,

a = ( m₂ - m₁ sinθ) g/( m₁ + m₂)

এবং T = m₂ g -m₂ a = m₂ ( g - a) 

যদি m₁ ভর নত তল বরাবর নীচের দিকে নামে তাহলে গতির সমীকরণ হবে -

m₁g sinθ -T =  m₁ a 

এবং 

T - m₂ g = m₂ a

সমাধান করে পাই ,

a = (m₁ sinθ - m₂)g/(m₁ + m₂)

T = m₂(g + a) 

10. ভরহীন তারের দ্বারা দুইটি ব্লক যুক্ত আছে এবং তারটি একটি ঘর্ষণহীন দ্বীনত তলের উপরে কপিকলের উপর রক্ষিত । 

মনেকরি  m₁ ভর টি উপরের দিকে উঠছে । এই অবস্থায় m₁ ভরের গতির সমীকরণ -

T - m₁ g sinθ₁ = m₁ a ( a = ত্বরণ )

m₂ ভরের গতির সমীকরণ -

m₂ g sinθ₂ -T = m₂ a 

উপরের সমীকরণ দুটি থেকে T অপনয়ন করে পাই ,

a = (m₂ sinθ₂ -  m₁  sinθ₁)g/(m₁ + m₂)

এবং T = m₁(a + g sinθ₁) = m₂(g sinθ₂ -a)

বহু বিকল্প ভিত্তিক প্রশ্না বলি (MCQ):

1.0.5 kg ভরের একটি ক্রিকেট বল 30 m/s বেগে লম্ব ভাবে ব্যাটে আঘাত করে ।বিপরীত দিকে 20 m/s বেগে বলটি ফিরে আসে । ব্যাটের উপর প্রযুক্ত বলের ঘাত কত ? 

a) 0.5 Ns        b) 1.0 Ns 

c) 25 Ns      d) 50 Ns   

  

2. m₁ ও m₂ ভরের দুটি বস্তু তার দ্বারা ঘর্ষণহীন দুটি কপিকলের মাধ্যমে m ভরের সঙ্গে চিত্র অনুযায়ী যুক্ত ।

যদি m₁ ও m₂ ভর v বেগে নীচের দিকে নামে তাহলে m ভর কত বেগে উপরে উঠবে ? 

a) v    b) √2 v

c) √3v         d) 2 v 

3. m এবং 2m ভরের দুটি বস্তু কপিকলের মাধ্যমে চিত্রের মত করে যুক্ত । যখন 2m ভরকে ছেড়ে দেওয়া হবে তখন m ভর কত ত্বরণে  উপরে উঠবে ? 

a) g/3       b ) g/2 

c) g        d) 2g 

4. নীচের চিত্রে যদি তারটির মুক্ত প্রান্তে F =2 mg বলে টানা হয় তাহলে m ভর কত ত্বরণে উপরে উঠবে ?

a) g/3       b ) g/2 

c) g        d) 2g 

5. M ভরের একটি বস্তুকে ঘর্ষণহীন টেবিলে অনুভূমিক ভাবে m ভরের দড়ির দ্বারা টানা হচ্ছে । প্রযুক্ত বলের মান F হলে M ভরের উপর ক্রিয়াশীল বলের পরিমাণ কত ? 

a) FM/(M + m)    b) Fm/(M + m 

c)  FM/(M - m)    d) F 

6. θ কোণে আনত একটি নত তলের উপরে অবস্থিত একটি বস্তু আছে । নত তলটি একটি লিফটের ভিতরে আছে । লিফটি যদি a মন্দনে নীচের দিকে নামে তাহলে নত তল বরাবর বস্তুর উপর কত ত্বরণ কাজ করবে ?

a) g sin θ          b) a   sin θ 

c) ( g - a)  sin θ        d) ( g + a)  sin θ

7. একটি  ব্লক 45º কোণে আনত একটি মসৃণ নত তল বরাবর পড়তে যে সময় লাগে ওই একই কোণে আনত অমসৃণ তল বরাবর পড়তে তার দ্বিগুণ সময় লাগে । অমসৃণ তলটির চল ঘর্ষণ গুণাঙ্ক কত ? 

a) 0.25        b) 0.5 

c) 0.75       d) 1.0 

8. θ কোণে আনত একটি নত তলের উপরের অর্ধাংশ মসৃণ কিন্তু নীচের অর্ধাংশ অমসৃণ । একটি বস্তু নত তলের উপরের বিন্দু থেকে স্থিরঅবস্থা থেকে   যাত্রা শুরু করে নত তলের নিচে আবার স্থির অবস্থায় আসে । নত তলের শেষ অর্ধাংশের ঘর্ষণ গুণাঙ্ক কত ?

a) μ = 2 tan θ     b) μ =  tan θ 

c) μ = 2 /tan θ   d) μ = 1/ tan θ 

9.বালি ভর্তি  একটি ট্রাক মসৃণ রাস্তায় u সুষম গতিতে চলছে । যদি ট্রাকের তলার একটি ছিদ্র দিয়ে △m ভরের বালি △t সময়ে পড়ে যায় তাহলে ট্রাকটির u সুষম গতি বজায় রাখার জন্য কত বলের প্রয়োজন ? 

a) △mu/△t             b) △mu/2△t 

c) △mu²/△t    d) zero 

10. m₂ ভরের একটি ব্লক একটি মসৃণ টেবিলের উপর আছে । ব্লকটিকে একটি তারের দ্বারা টেবিলের প্রান্তে আটকানো কপিকলের মাধ্যমে m₁ ভর ঝোলানো আছে । যদি m₁ > m₂ তাহলে সংস্থাটির ত্বরণ কত ? 

a)  m₁g / m₂     b)  m₂g/m₁ 

c) m₁g /(m₁ + m₂)  d)  m₂ g/(m₁ + m₂)

11.m₁ ভরের A বস্তু একটি মসৃণ টেবিলের উপর আছে । অপর একটি বস্তু B , ভর m₂ ,A বস্তুর সংস্পর্শে আছে । A  বস্তুর উপর F বল প্রয়োগ করা হল । B বস্তুর উপর A দ্বারা প্রযুক্ত বল কত ?

a) .m₁/m₂ F            b) m₂/m₁ F 

c) m₁ F /(m₁ + m₂)          d) m₂ F/(m₁ + m₂) 

12. A এবং B দুই ব্যক্তি একটি মসৃণ তলে 6 m দূরত্বে দাঁড়িয়ে আছে । A ,B এর ভর যথাক্রমে 50 kg এবং 70 kg । তারা পরস্পরকে একটি দড়ি দিয়ে টানছে । A, B যখন পরস্পর মিলিত হবে তখন কে কত দূরত্ব যাবে ?

a) উভয়েই  3 m করে দূরত্ব যাবে ।

b) A যাবে 4 m এবং B , 2 m যাবে । 

c) A যাবে 2.5 m এবং B যাবে 3.5 m | 

d) A যাবে 3.5 m এবং B যাবে 2.5 m | 

13.এক ব্যক্তি ইঞ্জিনের দিকে মুখ করে ট্রেনের ভিতরে বসে আছে । সে একটি মুদ্রা টস করলো । মুদ্রাটি তার পিছনে পড়ল । এর অর্থ হল - ট্রেনটি 

a) নিৰ্দিষ্ট  ত্বরণে সামনের দিকে চলছে ।

b) নিৰ্দিষ্ট মন্দনে সামনের দিকে চলছে ।

c) সম বেগে সামনের দিকে চলছে । 

d) সম দ্রুতিতে পিছনের দিকে চলছে । 

14.W = Mg ওজনের এক ব্যক্তি একটি লিফটে দাঁড়িয়ে আছে । লিফটি  a ত্বরণে উপরের দিকে উঠেছে । যদি g অভিকর্ষজ ত্বরণ হয় তাহলে লোকটির আপাত ওজন কত ? 

a) W(1 + a/g)   b) W(1 - a/g) 

c) W    d) zero 

15. একটি স্প্রিং ব্যালান্সের এক প্রান্তে 10 N বল প্রয়োগ করা হল । ওপর প্রান্তেও 10 N বল প্রয়োগ করা হল । স্প্রিং তুলার পাঠ কত হবে ? 

a) zero     b) 5 N 

c) 10 N       d) 20 N 

16. একটি ব্লক A কে একটি মসৃণ নত তল এর উপর থেকে ছেড়ে দেওয়া হল । একই সময়ে ওপর একটি ব্লক B কে সরাসরি নত তলের উপর প্রান্ত থেকে উলম্ব ভাবে ফেলে দেওয়া হলো । নীচের কোন বিবৃতি গুলি সঠিক ? 

a) দুটি ব্লকই একই সময়ে ভূমিতে পড়বে । 

b) A ব্লক B ব্লক থেকে আগে ভূমিতে পড়বে । 

c) উভয় ব্লকই একই দ্রুতিতে মাটিতে পড়বে । 

d) ব্লক B ,ব্লক A থেকে বেশি দ্রুতিতে মাটিতে পড়বে ।

17. একটি নত তলের শীর্ষ বিন্দু থেকে একটি ব্লককে ছেড়ে দেওয়া হল । নত তলের নতি কোণ θ হলে ব্লকটির ভূমিতে পৌঁছাতে কত সময় লাগবে ? 

a) √(2h/g)              b) sinθ√(2h/g) 

c) 1/sinθ√(2h/g)      d)    1/cosθ√(2h/g)  

18.M ভরের একটি ব্লক একটি নত তলের উপরে আছে । নত তলটির নতি ক্রমশ বৃদ্ধি করা হলে যখন নতি θ হয় তখন ব্লকটি পিছলে পড়া শুরু করে । নত তল বরাবর কত সর্বনিম্ন বল (F) প্রয়োগ করলে  ব্লকটি উপরের   দিকে উঠবে ? 

a) Mg sin θ              b)  Mg cos θ 

c) 2Mg cos θ         d)    2 Mg sin θ     

19. 200 g ভরের একটি বস্তু x অক্ষের ধনাত্বক 5 m/s গতিশীল আছে । একটি ধ্রুবক মানের 0.4 N বল x অক্ষের ঋনাত্বক দিকে 10 s ধরে ক্রিয়াশীল । t = 2.5 s বস্তুটির অবস্থান কোথায় হবে ? 

a) x = 1.0 m         b) x = 1.25 m 

c) 1.5 m        d) 1.75 m    

20. 19 নং প্রশ্নে t = 2.5 s বস্তুটির গতিবেগ কত হবে ? 

a) 7.5 m s⁻¹    b) 6.25 m s⁻¹ 

c) 5.0 m s⁻¹    d) zero 

21. 19 নং প্রশ্নে t =30 s বস্তুটির অবস্থান কোথায় হবে ? 

a) x = - 350 m   b) x = -400 m 

c) x = -450 m    d) x = - 500 m 

22. 19 নং প্রশ্নে t = 30 s সময়ে বস্তুটির দ্রুতি কত হবে ? 

a) 10  m s⁻¹     b) 15  m s⁻¹ 

c) 20  m s⁻¹       d) 25  m s⁻¹ 

 

বহুবিকল্প ভিওিক প্রশ্ন [MCQ (School Math) ]

 সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো :( https://forms.gle/WmaMXb1DcPxJ3Kgd9 )

1.    x³  + 4x² + 4x - 3 কে x -1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ? 

A) 5   B) -5   C) 6   D) -6 

2 . x² + 2x -8 শূন্য কি কি  হবে ? 

A)     4,2        B)  -4,-2          C)  -4, 2        D) 4, -2 

3. 2x + 3y = 0 সমীকরণের সম্ভাব্য সমাধান হবে - 

A)  x =1 ,y =1     B) x = -3 , y = 2      C)   x = 3 , y = 0      D) x = 0 ,y =2 

4. 1296 কে কীভাবে লেখা যায় ? 

A)   2⁴3³      B)  2³ 4⁴      C)  2⁴ 3⁴      D) 2³ 3³ 

5.   যদি  0 , -1 , 1 একটি বহুপদ রাশির তিনটি শূন্য হয় তাহলে বহুপদ রাশিটি হবে 

A)  x² -x      B)  x³ - x     C) x³ - x²       D)  x³  + x 

6. x² -4x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি কি হবে ? 

A)   বাস্তব          B)    বাস্তব ও অভিন্ন       C)   অবাস্তব      D) বাস্তব ও ভিন্ন 

7. 1 / x - 1/[x( x -3)] = 0 সমীকরণের সমাধান কি হবে ? 

A)  1 ,-3         B) 0        C)  4       D)  4, 4 

8. যদি 3x² + 5x + 2 =0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হয় 1/α - 1/β এর মান কত ? 

A) 士 1/2         B) 士 1/3      C)   1/4      D) 5

9. ax + b = 0 ( a এবং b ধ্রুবক  , a ≠ 0 , b  ≠ 0 ) সমীকরণের লেখচিত্র হবে - 

A)  x অক্ষের সমান্তরাল        B) y অক্ষের সমান্তরাল        C)   মূলবিন্দু গামী        D) মূলবিন্দু 

10. যদি ( x , -7) এবং ( 3 , -3 )  এর মধ্য দূরত্ব 5 একক হয় x এর মান হবে = 

A)  0 অথবা 6          B)   2  অথবা  3   C) -6   অথবা 0       D)  5 অথবা 0 

11.  r এর কোন মানের জন্য rx - 3y -1 =0 এবং ( 4 - r) x - y + 1 =0 সমীকরণ দুটির কোনো সমাধান থাকবে না ? 

A)     3        B)   4         C)   2    D)   -2 

12,   2,3,5,62,4,2,8,9,4,5,4,7,4,4 মানগুলির সংখ্যা গুরু মান কত ? 

A)     2     B)    3  C)   4  D)   8 

13. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাস 4.5 cm এবং উচ্চতা 10 cm |  চোঙটি গলিয়া 1.5 cm ব্যসের ও 0.2 cm পুরু কয়টি মুদ্রা তৈরী করা যাবে ? 

A)   450  B)  150    C) 300      D) 600 

14. p x + q y = r ( q ≠ 0 ) y অক্ষের উপরে ছেদ বিন্দু - 

A)  ( r/p ,0 )       B)    ( r/q ,0 )        C)  ( 0 ,0)         D)    ( 0 ,r/q)

15. একটি বৃত্তের ব্যসের প্রান্ত বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি - 

A) লম্ব         B)   সমান্তরাল     C)   ছেদ করবে     D) কোনটিই নয় 

16.  30, 34, 35, 36, 37,38, 39, 40 তথ্যে  35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায় -

A)  2     B)   1.5   C)    1  D)   0.5 

17. সমান দৈঘ্যের ব্যাস ও সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ , নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শংকুর ও  গোলকের আয়তনের অনুপাত -

A) 3 : 1: 2         B)1 :3: 4       C)  4:3:1      D)  3:1: 4 

18.যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার শংকুর ব্যাসার্ধ  r  এবং তির্যক উচ্চতা  l হলে তাহলে সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত ? 

A)     πr ( l + r)   বর্গ একক          B) 3πrl    বর্গ একক     C)   2πrl  বর্গ একক          D)   πr( r/4 + l) বর্গ একক   

19. 2 x + y = 4 এবং  3x - 2y = -1 সমীকরণ দুটির সমাধান কি হবে ? 

A)   x = 1 ,y = 1         B)     x = 2 , y = 1     C)   x = 1 , y = 2        D) x = -1 , y = 1  

20. ( 4,3 ) এবং ( 5 , -4) বিন্দুগামী সংযোজক রেখাংশ x অক্ষ কে কি অনুপাতে বিভক্ত করে ? 

A)   2 : 1        B)    3 : 4       C)     1 :2      D)  4 : 5 

21.  3 এবং  - 1/3 বীজ বিশিষ্ট সমীকরণ  হল - 

A) 3x² - 8 x -3 = 0            B) 3x² + 8x + 3 = 0          C)   2x² - 7x + 2 =0         D) কোনোটিই  নয়  । 

22. r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট  নিরেট অর্ধ গোলক থেকে সর্বাধিক কত আয়তনের নিরেট শংকু কেটে নেওয়া যাবে ? 

A) 4 π r³  ঘন একক    B)   3π r³ ঘন একক    C)   1/4 π r³ ঘন একক  D)   1/3π r³ ঘন একক 

23 . নদীর এক পারে একটি তাল গাছ আছে , তার ঠিক বিপরীত পাড়ে একটি খুঁটি আছে  । যদি খুটিটিকে নদীর পাড় বরাবর 7 √3 মিটার সরিয়ে নিয়ে গেলে খুঁটিটি নদীর পাড়ের সাপেক্ষে তালগাছটির সঙ্গে 60º কোণ করে । নদীটি চওড়া হবে  - 

A) 20 মিটার           B)  21   মিটার        C)     22 মিটার         D)   24   মিটার  

24 . O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু ।  OP যোগ করা হলো । এবার P বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক টানতে পরবর্তী পদক্ষেপ কি হওয়া উচিত ? 

A)    O কেন্দ্রীয় OP ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত টানা  ।             B)     OP কে সমদ্বিখণ্ডিত করা উচিৎ  ।           C) OP কে সমত্রিখন্ডিত করা উচিত ।             D) কোনোটাই নয়  । 

25. ABC ত্রিভুজের AB = 9 সেমি , BC  = 6 সেমি  এবং CA = 7.5 সেমি । Δ ABC এবং Δ DEF সদৃশ কোনী ত্রিভুজ , যেখানে BC এবং EF অনুরূপ বাহু এবং EF  = 8 সেমি , তাহলে Δ DEF এর পরিসীমা হবে - A)  22.5 সেমি          B)   25  সেমি       C) 27 সেমি        D)   30 সেমী 

26. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে । বৃত্ত তিনটির কেন্দ্র যোগ করলে কি হবে ? 

A) সমকোণী ত্রিভুজ            B) সমবাহু ত্রিভুজ        C)    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ     D)    সদৃশকোণী  ত্রিভুজ 

27. যদি ( 1 + m²) x² + 2 mcx + c² - a² = 0 এই সমীকরণটির বীজদুটি সমান হয় তাহলে -

A)    a²  = c² ( 1 + m² )       B) m²  = a² ( 1 + c² )      C) c² = a² ( 1 + m² )      D)   am = cm 

28.  কোনো ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কনের ক্ষেত্রে প্রথম পদক্ষেপ কি  হবে ? 

A)  কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন ।          B)  বাহুগুলির সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন ।   C) বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন  ।      D)   বহিঃস্থ কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন  ।  

29. নীচে একটি পরিসংখ্যান বিভাজন দেওয়া হল । 

  

(x)চল রাশি	( f) পরিসংখ্যান
5	7
12	6
16	8
20	4
23	5

যৌগিক গড় কত ? 

A) 43/3            B)   17/3        C)   34/3       D)   35/3 

30. a x⁴ + b x³ + c x² + d x + e = 0 বহুপদী রাশিমালার  x² - 1 উৎপাদক হলে - 

A) a + c+ e = b+ d            B)   a+b + e = c + d        C)   a + b + c = d + e      D)   b+ c+ d = a + e   

31. AB রেখাংশের উপর P একটি বিন্দু এবং  AP = BP , A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে ( 7 , 0 ) এবং ( - 5 , 2 ) হলে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে - 

A) ( 1, 1)       B) ( 1 ,0 )      C)  ( 0,1)   D)   ( 1 , -1) 

32 . একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল S বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য D একক হলে -

A) 2 D² = S   B)  D² = S     C) 2S² = D    D)  2S² =3 D   

33. একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতার √ 3 গুণ । সূর্যের উন্নতি কোণ কত ? 

A)    60º        B)   30º        C)   45º   D) কোনোটিই নয় 

 

দ্বিমাএিক গতি (Motion In Two Dimensions)

 প্রাস ( Projectile) :

কোনো প্রক্ষিপ্ত বস্তুর অভিকর্ষের অধীনে গতিকে প্রাস বলে । যেমন - কোনো বাড়ির ছাদ থেকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতি , রাইফেল থেকে প্রক্ষিপ্ত বুলেটের গতি , এরোপ্লেনে থেকে ফেলে দেওয়া বোমার গতি  বা কোনো খেলোয়াড় দ্বারা নিক্ষিপ্ত জ্যাভেলিনের গতি  ইত্যাদি হলো প্রাসের উদাহরণ ।  প্রাসের গতি দুই রকমের হতে পারে । (  i) নিৰ্দিষ্ট উচ্চতা থেকে অনুভূমিক ভাবে ছোঁড়া বস্তুর গতি  । (ii) ভূমি থেকে তীর্যক ভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতি ।

(i) নিৰ্দিষ্ট উচ্চতা থেকে অনুভূমিক দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতি - 

যদি  t = 0 সময়ে ভূমি থেকে খানিক উচ্চতা থেকে  v₀ অনুভূমিক বেগে ছোঁড়া হল । t সময় পরে বস্তুটির অনুভূমিক দিকে  x দূরত্ব এবং উলম্ব দূরত্ব y অতিক্রম করলে ,

x = v₀ t এবং  y =  - 1/2 g t² 

উপরের সমীকরণ থেকে t  অপনয়ন করে পাই ,

y = - 1/2 g x²/ v₀² = k x² ( যেখানে k = - 1/2 g / v₀² ) 

⇒ y =  k x² , এটি একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ । 

অতএব অনুভূমিক ভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিপথ অধিবৃত্তাকার হয় । 

লব্ধি বেগ: 

t সময় পরে নিক্ষিপ্ত বস্তর গতিবেগ v হলে,

v =√ (v₀² + g²t²)

যদি লব্ধিবেগ উলম্ব দিকের সঙ্গে α কোন করলে 

tan α = v₀/gt 

ii) অনুভূমিকের সঙ্গে কোণ করে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতি : 

যদি v₀ বেগে অনুভূমিকের সঙ্গে θ কোণ করে নিক্ষিপ্ত হলে t সময় পরে অনভূমিক ও উলম্ব দিকে অতিক্রান্ত দূরত্ব 

x =( v₀ cos θ ) t 

এবং y =( v₀ sin θ )t  - 1/2 g t² 

উপরের সমীকরণ থেকে t অপনয়ন করে পাই ,

y = px - qx² , যেখানে  p = tan θ , q = g/( 2v₀² cos²θ ) হলো ধ্রুবক । এটি হলো একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ ।  সুতরাং কোনো নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিপথ একটি অধিবৃত্ত হয় । 

সর্বোচ্চ উচ্চতা : সর্বোচ্চ উচ্চতা H হলে 

0 =  v₀² sin² θ - 2H g ( সর্বোচ্চ উচ্চতায় উলম্ব গতিবেগ 0 ) 

∴ H = v₀²sin² θ/2g 

উড্ডয়ন কাল( Flight Time ): 

নিঃক্ষেপ বস্তুটি যে সময় কাল ধরে বায়ুতে থাকে সেই সময়কে উড্ডয়ন কাল বলে । সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে t₁ সময় লাগলে 

0 = v₀ sin θ  - g t₁  

⇒ t₁ =  v₀ sin θ /g 

উড্ডয়ন কাল T হলে ,y =( v₀ sin θ )t  - 1/2 g t² থেকে পাই ,

 0 = ( v₀ sin θ ) T - 1/2 g T² 

⇒ T = ( 2v₀ sin θ )/g

অনুভূমিক পাল্লা (Horizontal Range):

নিক্ষেপ বিন্দু থেকে অনুভূমিক দিকে সর্বোচ্চ অতিক্রান্ত দূরত্বকে পাল্লা বলে । 

পাল্লা = অনুভূমিক বেগ  x  উড্ডয়ন কাল 

          = ( v₀ cos θ ) x T 

         = ( v₀ cos θ ) x ( 2v₀ sin θ )/g

    R = v₀² sin 2θ /g 

R এর মান সর্বোচ্চ হবে যদি sin 2θ = 1 হয় 

অর্থাৎ 2θ = 90⁰ 

বা ,θ = 45⁰ 

R এর সর্বোচ্চ মান  v₀² /g  

অতএব কোনো বস্তুকে অনুভূমিকের  45⁰ কোণ করে ছুঁড়লে সর্বোচ্চ অনুভূমিক দূরত্ব যাবে ।

উড্ডয়ন কাল ও একটি  নততলের উপর পাল্লা : 

মনেকরি  নততল OAB অনুভূমিকের উপর α কোণ করে । একটি বস্তুকে অনুভূমিকের সঙ্গে θ কোণ করে v₀ বেগে ছোঁড়া হলো ।  x - অক্ষ OA বরাবর বিস্তারিত এবং y - অক্ষ OA সমতলের উপর লম্ব । মনে করি নিক্ষিপ্ত বস্তুটি P বিন্দুতে নত তলকে আঘাত করে । নত তল বরাবর পাল্লা হল R = OP | গতিবেগের x এবং y উপাংশ গুলি যথাক্রমে ,

vₓ = v₀ cos (θ - α ) এবং vₕ = v₀ sin( θ - α ) 

অভিকর্ষ ত্বরণের  x এবং y উপাংশ গুলি যথাক্রমে  

- g sin α এবং  - g cos α 

T হল নততলের উপর উড্ডয়ন কাল। 

যেহেতু T সময়ে অতিক্রন্ত উলম্ব দূরত্ব 0 ( h = 0 )

0 = vₕT - 1/2 g cos α T²

অতএব  0 = vₕ -1/2 g cos α T

0 = v₀ sin ( θ - α ) - 1/2 g cos α T

T = 2 v₀ sin ( θ - α ) / g cos α 

উড্ডয়ন কালে বেগের অনুভূমিক উপাংশ  v₀ cos θ ধ্রুবক থাকে । 

অনুভূমিক দূরত্ব  OQ = v₀ cos θ T 

এখন OQ/ OP = cos α 

অতএব OP = OQ /cos α = v₀ cos θ T / cos α 

=  v₀ cos θ  2 v₀ sin ( θ - α ) /( g cos α  cos α ) 

অতএব, R= 2 v₀² sin ( θ - α ) cos θ /(g cos² α ) 

কৌণিক বেগ ও কৌণিক ত্বরণ : 

সম কৌণিক গতিতে ঘূর্ণনশীল বস্তুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর প্রতি সেকেন্ডে যে কোণে ঘুরে যায় তাকে কৌণিক বেগ বলে । যদি ব্যাসার্ধ ভেক্টর △t সময়ে △θ কোণে আবর্তিত হয় তাহলে কৌণিক বেগ হবে  - 

ω = lim ( △θ / △t ) = dθ/dt 

△t →0 

ω কে rad s⁻¹ এককে  প্রকাশ করা হয় ।  

রৈখিক বেগ ও কৌণিক বেগের মধ্যে সম্পর্কটি নিম্নরূপ  

v = r ω ( r = বৃত্তিও গতির ব্যাসার্ধ  ) 

রেডিয়ান ( radian ) :  বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে রেডিয়ান বলে  । 

রেডিয়ান (θ ) = বৃত্ত চাপ (s)/ব্যাসার্ধ (r ) , 

কৌণিক ত্বরণ : 

কৌণিক বেগের পরিবর্তনের হারকে কৌণিক ত্বরণ বলে । 

কৌণিক ত্বরণ ( α ) = dω/dt 

রৈখিক ত্বরণ(a)  ও কৌণিক ত্বরণের মধ্যে সম্পর্কটি :

 a = r α কৌণিক ত্বরণের একক rad s⁻²  

সুষম বৃত্তিও গতি (Uniform Circular Motion): 

এক্ষেত্রে একটি বস্তুকণা সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণন শীল  থাকে । বাস্তুকণাটির বেগের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না । কিন্তু বেগের অভিমুখের অনবরত পরিবর্তণ ঘটে । ফলে একটি ত্বরণ দেখা দেয় । এই ত্বরণ বৃত্তটির কেন্দ্রের অভিমুখে কাজ করে । এই ত্বরণকে অভিকেন্দ্র ( Centripetal Acceleration) ত্বরণ বলে । সম দ্রুতিতে  ঘূর্ণায়মান বস্তুকণার ওপর  ক্রিয়াশীল যে ত্বরণ বৃত্তের কেন্দ্রের অভিমুখে কাজ করে তাকে অভিকেন্দ্র ত্বরণ বলে । এই ত্বরণের মান হয় - 

                                       a = v²/r ( r = বৃত্তপথের ব্যাসার্ধ , v = বস্তুকণাটির দ্রুতি ) 

বৃত্তের পরিধি বরাবর বস্তুকণাটির এক বার ঘুরতে T সময় নিলে ,

                                      T = 2 π r /v , T কে পর্যায় কাল বলা হয় । 

অভিকেন্দ্র ত্বরণের ( a = v²/r ) প্রমাণ :

ধরি একটি বস্তুকণা r ব্যাসার্ধের বৃত্তপথে v বেগে ঘুরছে । p বিন্দুতে বস্তুকণার গতিকে নিচের সমীকরণ আকারে লেখা যায় |

     v = vₓ i + vₕ j = ( -v sinө )  i + (v cosө) j 

v = ( - vyₚ/r) i  + (vxₚ /r ) j 

p বিন্দুতে ত্বরণ নির্ণয়ের জন্য উপরের সমীকরণ অবকল করে  পাই  ,

a = dv/dt = ( - v/r dyₚ/dt ) i + (v/r dxₚ/dt ) j 

এখন dyₚ/dt হল গতিবেগের y উপাংশ  = vₕ এবং  dxₚ/dt = vₓ 

অতএব, a = ( -v/r  vₕ ) i + v/r  vₓ ) 

a = ( - v²/r cosө ) i + ( - v²/r sinө ) j 

ত্বরণের মান a = √ ( aₓ²  + aₕ² ) = v²/r √ ( cos²ө + sin²ө ) = v²/r 

⇒ a = v²/r 

ত্বরণের অভিমুখ নির্ণয়ের জন্য আমাদের উপরের চিত্রের φ কোণ এর মান প্রয়োজন । 

এখন tanφ = aₕ/aₓ = ( - v²/r sinө )/ ( - v²/r cosө ) = tanө 

⇒  φ = ө 

অর্থাৎ ত্বরণ বৃত্তটির কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে ।

অভিকেন্দ্র ত্বরণ =  v²/r = ω² r ² /r (∵ v = ω r ) 

অভিকেন্দ্র ত্বরণ = ω² r  

বৃত্তাকার পথের বাঙ্কিং ( Banking of a Round Tracks) :

যখন কোনো গাড়ি সমতল বৃত্ত পথে বাঁক নেয় তখন উৎপন্ন অভিকেন্দ্র বল কে  সামাল দেয় টায়ার ও রাস্তার সংযোগস্থলে উৎপন্ন ঘর্ষণ বল । গাড়ির ওজনের সঙ্গে লম্ব প্রতিক্রিয়া সমান হয় । ঘর্ষণ বলের পরিমাণ বেশি হলে অনেক বেশি বেগে গাড়িটি বাঁক নিতে পারবে ।  যদি ঘর্ষণ বল F হয় তাহলে 

F =  m v²/R 

( যেখানে  m = গাড়ির ভর , R = বক্র পথের ব্যাসার্ধ , v = বৃত্ত পথে গাড়ির বেগ  ) 

যদি μ ঘর্ষণ গুনাঙ্ক হয়  তাহলে 

F ≤ μ N , N = লম্ব প্রতিক্রিয়া = mg 

গাড়ির সর্বোচ্চ বেগ vₘ  হলে 

μ N = m vₘ²/R 

⇒ μ mg =  m vₘ²/R 

⇒ vₘ² = μ g R

∴   vₘ = √ ( μ g R)

বক্র পথের ব্যাঙ্কিং ( Banking of curved path ) :

সমতল বৃত্ত পথে বাঁক নেওয়ার সময় ঘর্ষণ বল টায়ারের অনেক ক্ষতি করতে পারে । এই জন্য পথে ব্যাঙ্কিং অর্থাৎ রাস্তাটির বাহিরের দিকের অংশ ভিতরের দিকের অংশ থেকে সামান্য উঁচু করা হয় । 

মনেকরি একটি m ভরের গাড়ি R ব্যাসার্ধে ব্যাঙ্কিং যুক্ত  বৃত্ত পথে চলছে । N₁ ও N₂ হল গাড়ির টায়ারে প্রতিক্রিয়া বল হলে মোট প্রতিক্রিয়া বল N = N₁ + N₂  গাড়ির মাঝখানে ক্রিয়া করবে । যদি ব্যাঙ্কিং কোণ θ হয় N cos θ গাড়ির ওজন mg এর সমান হবে । অনুভূমিক উপাংশ N sin θ অভিকেন্দ্র বল সরবরাহ করবে । 

সমব্যবস্থায় , N sin θ  =  mv²/R - F cos θ 

N cos θ = mg + F sin θ 

এবং  F = μ N ( F = ঘর্ষণ বল , রাস্তার বাঁকের দিকে কাজ করে ) এই সমীকরণগুলো থেকে পাই। 

v² = Rg ( μ + tan θ ) /( 1 - μtan θ) 

⇒ tan θ =  ( v²  - R g μ)/( Rg + μ  v² )

নিৰ্দিষ্ট  v , R , μ এর  জন্য  উপরের সম্পর্ক থেকে ব্যাঙ্কিং কোণ জানা যাবে । 

যদি ঘর্ষণ বল শূন্য হয় তাহলে μ  = ০ হবে 

এবং  tan θ =  v² /Rg 

সমতল বৃত্তাকার পথে সাইকেল আরোহীর গতি ( A cyclist negotiating a curved lever road):

এক জন সাইকেল আরোহী সমতল রাস্তার ওপর বাঁক নেয় তখন অভিকেন্দ্র বল টায়ার ও রাস্তাতে উৎপন্ন ঘর্ষণ বল সাম্যবস্থা বজায় রাখে । 

অর্থাৎ   m v²/R  = μ N ( N = লম্ব প্রতিক্রিয়া= mg  ) 

= μ mg 

⇒ v² = μ R g 

v = √ ( μ R g ) 

উপরের সমীকরণ থেকে আমরা বেগের সর্বোচ্চ মান পাই । এর থেকে বেশি বেগে বাঁক নিতে গেলে পিছলে পড়ে যাবে । 

যদি ঘর্ষণ বলের পরিমাণ নগন্য হয় তাহলে বাঁক নেওয়ার সময় উলম্বের সঙ্গে নিৰ্দিষ্ট কোণ করতে হবে  । 

সাম্যবস্থায় আমরা পাই , 

mv²/r = N sin θ 

mg = N cos θ 

উপরের সমীকরণ থেকে পাই 

tan θ = v²/rg 

উলম্বের সঙ্গে কোণ (θ) গতিবেগ ও বক্রতা ব্যাসার্ধের ওপর নির্ভরশীল  । 

উলম্ব বৃত্ত পথে বস্তুর গতি (Motion in a  Vertical Circle ) : 

মনে করি m ভরের একটি বস্তুকণা R ব্যাসার্ধের উলম্ব বৃত্তপথে v স্থির দ্রুতিতে ঘুরছে । শীর্ষ অবস্থান A তে সুতার টান T₁ হলে 

F = T₁ + mg = mv²/R 

⇒ T₁ = mv²/R  - mg 

অনুভূমিক বিন্দু B তে ওজনের কোনো উপাংশ কাজ করে না । যদি সুতার টান B বিন্দুতে T₂ হয় তাহলে 

F = T₂ = mv²/R  

C বিন্দুতে টান ও ওজন পরস্পর বিপরীত দিকে কাজ করে । 

∴ F = T₃ - mg =  mv²/R 

⇒ T₃ =  mv²/R  + mg 

উপরের টানের সমীকরণ গুলি থেকে জানা যায় যে সর্বনিম্ন বিন্দু C টান সর্বোচ্চ হয় । সর্বোচ্চ বিন্দু A তে টান সর্বনিম্ন হয় ।  বস্তুটিকে বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান রাখতে হলে A বিন্দুতে কমপক্ষে অভিকেন্দ্র বল বস্তুটির ওজনের সমান হবে । 

∴ mv₁²/R = mg   ( v₁ =     A বিন্দুতে দ্রুতি )

বেগের সর্বনিম্ন মান v₁ =√ (R g ) 

C বিন্দুতে সর্বনিম্ন দ্রুতি v₂ হলে , 

 v₂² = v₁² + 2 x 2 R g 

= Rg + 4 Rg 

= 5 R g 

∴  v₂ = √( 5 Rg) 

C বিন্দুতে সর্বনিম্ন টান হবে  T₃  = m v₂² /R + mg 

 = 5 mg + mg 

 ⇒  T₃  = 6mg 

জলভর্তি একটি বালতি কে উলম্ব বৃত্তাকার পথে ঘোরানো হচ্ছে । যদি অভিকেন্দ্র বল  mv²/R  ওজনের থেকে বেশি হয় তাহলে জল পড়বে না । আর যদি mg >  mv²/R  হয় তাহলে কিছু পরিমাণ জল পড়ে যাবে । বাকি জলের ওজন ও অভিকেন্দ্র বল পরস্পর সমান থাকে । 

বহু বিকল্প ভিত্তিক প্রশ্ন (MCQ) : ( https://forms.gle/eZHT3rYWCgvATUMt5 )

1. একটি প্রাসের সর্বোচ্চ উচ্চতা ও অনুভূমিক পাল্লা সমান  হলে এবং অনুভূমিকের সঙ্গে θ কোণ করলে নিচের কোনটি সত্য ? 

a) θ  = tan⁻¹ 2         b) θ = tan⁻¹ 3 

c) θ = tan⁻¹4  d)    θ = tan⁻¹ 5     

2. 100   m অনুভূমিক দুরত্বে অবস্থিত একটি বস্তুকে এক ব্যক্তি তাঁর বন্দুক দিয়ে তাক করলেন । বন্দুক থেকে গুলি 500 m/s অনুভূমিক বেগ নিয়ে বের হয় । ওই ব্যক্তি লক্ষ্য বস্তুর কত উপরে লক্ষ্য স্থির করবেন ? ( g = 10 m s⁻² ) 

a) 10 cm             b) 20 cm     

c) 50 cm          d) 100 cm    

3.প্রাসের সর্বোচ্চ বিন্দুতে গতিবেগ ও ত্বরণের অভিমুখ কোনটি হবে ? 

a) পরস্পর সমান্তরাল হবে । b) পরস্পর বিপরীত সমান্তরাল (anti parallel) হবে ।

c ) পরস্পর 45º কোণে নত থাকবে । d) পরস্পরের উপর লম্ব হবে । 

4. 19.6 m উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি বলকে 5 m/ s বেগে অনুভূমিক দিকে ছোঁড়া হল । বলটি কত সময় পরে মাটিতে পড়বে ? 

a) √2 s            b) 2 s 

c)     √3 s            d) 3 s 

5 . লক্ষ্য বস্তুর ঠিক h উচ্চতায় একটি বিমান থেকে একটি বোমা নিক্ষেপ করা হলো । বোমাটি কত দুরত্বে লক্ষ্য বস্তুকে মিস ( miss ) করবে ? বিমানটির অনুভূমিক দিকে গতিবেগ v  | 

a) 2v √(h/g)        b) v √(h/g) 

c) v √(2h/g)      d) v √(h/2g) 

6. শত্রু পক্ষের দেশে 100 km দুরত্ব থেকে তোমার শহরে একটি Missile সর্বোচ্চ পাল্লাতে ছোঁড়া হল । Missile টি যদি অর্ধ দুরত্বে আবিষ্কৃত হয় তাহলে সতর্কীকরণের জন্য কত সময় পাওয়া যাবে ?( g = 10 m/s² ) 

a) 100 s             b) 100/√2 s 

c)  100 √(3/2) s       d) 200 s 

7. 6 নম্বর প্রশ্নে মিসাইল টি যখন আবিষ্কৃত হয় তখন তার দ্রুতি কত ছিল ? 

a) 200 √2 m s⁻¹        b) 300 √2 m s⁻¹

c) 400 √2 m s⁻¹         d) 500 √2 m s⁻¹ 

8 .  6 নম্বর প্রশ্নে মিসাইল টির  সর্বোচ্চ উচ্চতা কত ? 

a) 2.5 x 10⁴ m  b) 5.0 x 10⁴ m  

c) 7.5 x 10⁴ m      d) 10⁵ m

9. 6 নম্বর প্রশ্নে মিসাইল টি কত বেগে মাটিতে লক্ষ্য বস্তুকে আঘাত করবে ? 

a) 10² m s⁻¹         b) 10³ m s⁻¹  

c) 10⁴ m s⁻¹    d) 10⁵ m s⁻¹  

10. একটি বিমান v ms⁻¹ সম দ্রুতিতে উড়ছে । t সেকেন্ড সময়ের ব্যবধানে বিমানটির দুটি অবস্থানের জন্য ভূমিতে কোনো লক্ষ্য বস্তুতে θ কোণ উৎপন্ন করে । বিমানটি ভূমি থেকে কত উচ্চতায় উড়ছে ? 

a) vt /(2 tan θ)       b) 2vt /tanθ

c) vt /tan( θ/2)      d) vt / [2tan(θ/2)]

11. শত্রু পক্ষের একটি বিমান মাটি থেকে 2 km উচ্চতায় 300  ms⁻¹ বেগে উড়ছে । মাটিতে একজন সৈন্য ঠিক তার মাথার উপরে বিমানটিকে দেখতে পেল এবং সে তার বন্দুক থেকে 600  ms⁻¹ বেগে গুলি ছুঁড়লো । উলম্বের সঙ্গে কত কোণে গুলি ছুঁড়লে বিমানটিকে ঠিক আঘাত করবে ? 

a) 30º          b)  45º  

c)  60º         d)  75º  

12. 11 নম্বর প্রশ্নে বিমানটি সর্বনিম্ন কত উচ্চতায় উড়লে গুলির আঘাত থেকে রক্ষা পাবে ? 

a) 12.5 km        b) 13.5 km  

c) 14.5 km        d) 15.5 km 

13.একজন ক্রিকেটার অনুভূমিক দিকে সর্বোচ্চ 100 m পর্যন্ত বল ছুঁড়তে পারে । যদি ওই একই প্রচেষ্টায় উলম্ব দিকে বল ছুঁড়ে তাহলে সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় ছুঁড়তে পারবে ? 

a) 50 m             b) 60 m 

c) 70 m      d) 80 m 

14 . 40 m উঁচু একটি স্থম্ভের শীর্ষদেশ থেকে 20 m /s বেগে এবং 30º উন্নতি কোণে  একটি বল ছোঁড়া হলো । মাটিতে পৌঁছাতে মোট সময় ও উড্ডয়ন কালের ( যে উচ্চতা থেকে ছোঁড়া হয়েছিল সেই উচ্চতায় পৌঁছাতে  সময় ) অনুপাত কত ? ( g = 10 m /s² )

a) 2 : 1         b) 3 : 1   

c) 3 : 2     d) 1.5 : 1 

15 . 14 নম্বর প্রশ্নে স্তম্ভের পাদদেশ থেকে কত দূরত্বে বলটি ভূমি স্পর্শ করবে ? 

a) 50 m          b) 60 m   

c) 70 m        d) 80 m 

16. R দুরত্বে অবস্থিত একটি উলম্ব দেয়ালকে লক্ষ্য করে একটি কামান থেকে v₀ বেগে অনুভূমিকের সঙ্গে α কোণ করে গোলা ছোঁড়া হল । গোলটি ভূমি থেকে কত উচ্চতায় দেয়ালটিকে স্পর্শ করবে ? 

a) R sin α - 1/2 gR² /(v₀² sin²α)     b)  R cos α - 1/2 gR² /(v₀² cos²α) 

c)  R tanα - 1/2 gR² /(v₀² cos²α)    d)  R tan α - 1/2 gR² /(v₀² sin²α) 

17. r দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দু P কে অতিক্রম করার জন্য দুটি বিভিন্ন কোণে কোনো বস্তুকে ছোঁড়া যায় । P বিন্দুতে পৌঁছানোর  দুইটি সময়ের গুনফল নিচের কোনটির সমানুপাতিক ?

a) 1/r           b) r   

c) r³             d) 1/r²

18. একটি প্রাসের সর্বোচ্চ পাল্লা 200 m | বস্তুটি সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় উঠেবে ? 

a) 25 m       b) 50 m  

c) 75 m        d) 100 m 

19. 30⁰ নতিতে অবস্থিত একটি ঘর্ষণহীন নততল বরাবর একটি বস্তু 40 মিটার পতিত হয়ে একটি বেগ লাভ করে । ওই একই বেগে বস্তুটি অনুভূমিকের সঙ্গে 30⁰ কোণ করে ছোড়লে এর পাল্লা কত হবে / ( g = 10 m/s² ) 

a) 20 m      b) 20 √2 m

c) 20 √3 m   d) 40 m     

20 .একটি গ্রহ থেকে নিক্ষিপ্ত প্রাসের গতির ক্ষেত্রে নিচের কোনটি ধ্রুবক থাকে ? 

a) গতিশক্তি  b) ভরবেগ 

c) গতিবেগের উলম্ব উপাংশ  d) গতিবেগের অনুভূমিক  উপাংশ 

[ উপরের MCQ গুলির উত্তর জানতে হলে নিচের লিংকটিতে ক্লিক বা কপি করে google এ paste করো এবং সঠিক উত্তরটি টিক দিয়ে submit করো । https://forms.gle/eZHT3rYWCgvATUMt5 ]